関数グラフ                      

‘03/03/02 修正

 数学演算ソフト「カルキング」を使えば、その関数グラフ機能をつかって、y=x2 のような放物線のグラフを始めとして、2次元・3次元のグラフが作れます。

 一口に「関数グラフ」と言っても色々です。2次元(2D)では線グラフになるし、3次元(3D)では通常は面グラフになります。

上に掲げた花柄は、3Dの中へ、ただ1つの独立変数tの変化に応じて、x , y , z 座標に変化を与えて作ったグラフで、ソフトの中では、「花びらの縁取りをしながら動く軌跡」をデータとして保持します。これを画面や紙面上へ投影して、印刷すれば図案(CG)になるわけです。

 このようなグラフは、媒介変数型と呼ばれるもので、「カルキング」の関数グラフでは、「3Dのリニア(線形)タイプ」と呼ばれています。

 元来、2Dの媒介変数型のグラフで、「バラ曲線」と呼ばれるものがあります。基本形から定数項を加える等の拡張操作をしながら変形を施し、これを円錐面に載るように3Dし、さらに変形を加えています。

先ず、2Dのグラフを眺めて見ましょう。@ のグラフは、x(t)cos(5t)*cos(t) y(t)cos(5t)*sin(t) 2つの式を同時選択して、グラフを作成すれば描けます。

@ A B C  D

 主な花弁の枚数が5枚になるものを並べました。これらは、三角関数の cossinに定数項を加えた組み合わせで作っています。

3Dすると当然ですが立体的に見えてきます。E のグラフは、x(t)cos(5t)*cos(t) y(t)cos(5t)*sin(t) 及び z(t)=cos(5t) 3つの式を同時選択して、グラフ作成を指示すれば描けます。r(t)=cos(5t) と考えれば、x – y 平面へ投影される図形は、半径 r の変化の結果 @ と同じですが、z(t)=r(t) とすることにより、立体的な軌跡は常に「傾斜角が45゚の直線 z = x を回転させて得られる円錐」の表面を走査するものになります。

E  F

 この辺が、円錐表面にへばりついた「3D円錐図形(3D Conic figure)です。皆さんが良くご存知の円錐曲線(楕円や双曲線)は、Conic section だそうです。

 更に、円錐表面から少し引き剥がすと、ぐっと花柄らしくなります。ここからがオリジナルの3D花形図形(3D Flower figure)です。

G H I

 

カルキング ver.4 以降のものをお持ちなら、以下の定義を済ませてから 3Dのグラフを作成すれば、同じようなものができるはずです。

 2つの変数を代入定義               m=2       花弁の幅(軌跡の回転数:周期2πに対して)

                                                     n=5        花弁の枚数(軌跡の分割数:周期2πに対して)

 組み合わせて、軌跡の大筋は5/2角形(星型)を作る作業になります。

 4つの式を関数定義

r1(t)=0.3+0.55*cos(nt)-0.15*cos(3nt)

r2(t)=0.1*cos(2nt)

r5(t)=0.3+0.7*cos(nt)

r6(t)=0.2*cos(3nt)-0.2*cos(nt)

 

 4組の式を使って、グラフ作成

@       x(t)=r1(t)*cos(mt)              y(t)=r1(t)*sin(mt)              z(t)=0.7*r1(t)

A       x(t)=r1(t)*cos(mt)              y(t)=r1(t)*sin(mt)              z(t)=|0.5*r1(t)-r2(t)-0.1|

B       x(t)=r1(t)*cos(mt)              y(t)=r1(t)*sin(mt)              z(t)=|0.5*r1(t)+r2(t)+0.07|

C       x(t)=r5(t)*cos(mt)              y(t)=r5(t)*sin(mt)              z(t)=|0.8*r5(t)+0.8*r6(t)-0.22|

 

 以上のように式の構成は極めて簡単で、演算記号も四則演算の他は sin, cos と絶対値だけです。

 4組のどれが、どのグラフになるかは、やってみれば分かります。

 

 円錐図形は、適当な半径の変化を表す式を1つ使い、3D花形図形は、別に準備した調味料的に働く式を組み合わせます。

 変数の定義と、関数の定義と、関数の組み合わせは、いずれも無限に作れます。

 これまでに何方かが、既に見つけているものかもしれませんが、私にとっては、オリジナルであり新発見です。

 

 これらのグラフを作成するには、3Dのグラフを作成できるソフトが必要です。私設応援団は、「カルキング」を使いました。Mathematica みたいな高価なソフトは持っていないのでチェックしていませんが、同値の式を使えば同様の図柄を得ることができる筈です。

 こんな内容を記載した「関数グラフ入門」書を デジ本(CD-R)で作り、潟Vンプレックス 社を窓口にネット販売して頂いています。宜しかったらどうぞ! です。

 

 潟VンプレックスのHome Page: http://www.simplex-soft.com もご覧下さい。

 

 トップページ へどうぞ

 目次 へ戻る

 次ページ へ進む